Funciones, Limites y Derivadas

                                                          Funciones 

       Una función en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.

       De igual forma podemos decir que magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda.

       De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto.

       Una función puede representarse de diversas formas: mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen o como una gráfica que dé una imagen de la función. 

Clasificación de las Funciones 

 1) Función Lineal: Es una función polinomial de primer grado que se representa por medio de una recta y se denota por medio de: f(x)= mx+b. 

m Y b: constantes reales.    m≠0:       m es la pendiente de la recta.

b: termino Independiente. 

Ejemplo:

 2) Función Cuadrática:  Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola y se denota por: F(x)= ax^2+bx+c.         

Y= ax^2+by+c. Si la parábola abre hacia arriba (U) es positiva. Si la parábola abre hacia abajo (∩) es negativa.

Ejemplo:

3) Función cúbica: La función cúbica se define como polinomio de tercer grado y tiene la forma:

 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

Ejemplo:

4) Función Racional: El criterio viene dado por un cociente entre polinomios: 

Ejemplo:

5) Función Exponencial:  f(x) = a^x, Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x. 

Ejemplo:

Limites 

       El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Propiedades de los Limites.

1) Limite de una Suma: Es igual a la suma de los limites de cada termino, siempre que los limites sean finitos:

  Lim [f(x)+g(x)]= limf(x) + limg(x)

 x->a                  x->a        x->a

2) Limite de una Resta: Es igual a la diferencia de los limites de cada una de ellas:

  Lim [f(x)-g(x)]= limf(x) - limg(x)

   x->a                x->a      x->a

3) Limite de un Producto: Es igual al producto de cada una de ellas:

  Lim [f(x)*g(x)]= limf(x) * limg(x)

 x->a                  x->a       x->a

4)Limite de un Cociente: Es igual al cociente de los limites de cada una de ellas, si el denominador no es nulo (≠0):

5) Limite de una Constante:  Lim   K = K

                                        x->a

6) Limite de la Funcion Identidad:  Lim   X = a

                                                x->a

7) Limite de una Raiz: 

8) Limite de una Potencia:

 

Indeterminación

       En muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes, diferencias y productos de funciones en los que al reemplazar la variable por el valor al cual tiende se generan indeterminaciones del tipo 0/0 El resultado de estos límites no puede anticiparse y el mismo puede ser cero, mas infinito , menos infinito , un número finito diferente de cero, o bien puede no existir. Para resolverlos, se realizan procedimientos algebraicos adecuados que permitan salvar la indeterminación.

La indeterminación 0/0

       Para salvar indeterminaciones de este tipo, es posible reducir el cociente planteado a otro cuyo denominador no sea cero factorizando el numerador y/o el denominador, cancelando luego los factores comunes. En otras ocasiones, es posible crear un factor común multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la que se presenta en uno de ellos.

Derivadas

       La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

       Las derivadas forman una parte importante del cálculo. Hablando en términos sencillos, la derivada es una medida de la tasa de variación de la salida de una función así como varía la entrada de la función.

Propiedades de las Derivadas

1) Derivada de una Constante:

2) Derivada de x:

3) Derivada de Función Lineal:

4) Derivada de una Potencia:

5)Derivada de una Raíz Cuadrada:

6) Derivada de una Raíz:

7) Derivada de Suma:

8) Derivada de de una Constante por una Función:

9) Derivada de un Producto:

10) Derivada de Constante Partida por una Función:

11) Derivada de un Cociente:

12) Derivada de la Función Exponencial:

13) Derivada de la Función Exponencial de base e:

14) Derivada de un Logaritmo:

15) Derivada de un Logaritmo Neperiano:

16) Derivada del Seno:

17) Derivada del Coseno:

18) Derivada de la Tangente:

 19) Derivada de la Cotangente:

20) Derivada de la Secante:

 21) Derivada de la Cosecante:

22) Derivada del Arcoseno:

23) Derivada del Arcocoseno:

24) Derivada del Arcotangente:

25) Derivada del Arcocotangente:

26) Derivada del Arcosecante:

27) Derivada del Arcocosecante

28) Derivada del Arcocosecante la Función potencial-exponencial: